Polinomial, Teorema Sisa 1, 2, 3 dan Teorema Faktor

Polinomial

=> Memiliki suku banyak yang terdiri dari:
1) Variabel
2) Konstanta
3) Pangkat bilangan cacah (tersusun)
4) Operasi bilangan
5) Koefisien

Polinomial merupakan kalimat matrmatika yang mengandung penjumlahan dari variabel yang memiliki derajat satu atau lebih dari konstanta dimana operasi yang berlaku adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan bulat tak negatif.

Contoh Operasi Polinomial
Misal * = pangkat
f (x) = 2x⁴ + 4x³ + 3x² - 5x + 3
g (x) = 5x⁴ - 5x³ - 20

Tentukan!
a) f(x) + g(x)
b) f(x) - g(x)
c) f(x) . g(x)

Jawab
a) f(x) + g(x)
(2x⁴ + 4x³ + 3x² - 5x + 3) + (5x⁴ - 5x³ - 20)
= 2x⁴ + 5x⁴ + 4x³ - 5x³ + 3x² - 5x + 3 - 20
= 7x⁴ - x³ + 3x² - 5x - 17

b) f(x) - g(x)
(2x⁴ + 4x³ + 3x² - 5x + 3) - (5x⁴ - 5x³ - 20)
= 2x⁴ - 5x⁴ + 4x³ - 5x³ + 3x² - 5x + 3 - 20
= -3x⁴ + 9x³ + 3x² - 5x + 23

c) f(x).g(x)
(2x⁴ + 4x³ + 3x² - 5x + 3).(5x⁴ - 5x³ - 20)
= 10x*8 - 10x*7 - 40x² + 20x*7 - 20x*6 - 80x³ + 15x*6 - 15x*5 - 60x² + 25x*5 + 25x⁴ + 100x - 15x⁴ - 15x³ - 60
= 10x*8 - 10x*7 + 20x*7 - 20x*6 + 15x*6 - 15x*5 - 25x*5 - 40x⁴ + 25x⁴ + 15x⁴ - 80x³ - 15x³ - 60x² + 100x - 60
= 10x*8 + 10x*7 - 5x*6 - 40x*5 - 95x³ - 60x² + 100x - 60

Dengan cara substitusi :
f(x) = 2x*5 + 3x³ - 20x² + 5x - 100
f(2) = 2(2)*5 + 3(2)³ - 20(2)² + 5(2) - 100
= 2(32) + 3(8) - 20(4) + 5(2) - 100
= 64 + 24 - 80 + 10 - 10
= - 82

Teorema horner
f(x) = 2x*5 + 3x³ - 20x² + 5x - 100

Algoritma Pembagian
f(x) = 2x⁴ + 5x² + 3x - 4

Teorema sisa 1

=> Jika suku banyam f(x) dibagi x-k maka sisanya adalah f(k)
Contoh :
f(k)= (k - k) . h(k) + S
      = 0 . h(k) + S
      = 0 + S
      = S

Teorema sisa 2

=> Jika f(x)dibagi dengan ax-b maka akan bersisa f(b/a)
Jika x diganti dengan a
f(a)= (a - a)(a - b) . h(a) + (pa+q)
      = 0 . h(a) + (pa+q)
      = 0 + (pa+q)
      = pa + q
Jika x diganti dengan b
f(b) = (b - a) (b - b) . h(b) + (pb+q)
       = 0 . h(b) + (pb+q)
       = 0 + (pb+q)
       = pb + q
Jadi , S = px + q, dimana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Teorema Sisa 3

=> Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b) maka sisanya adalah px + q dimana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q
Contoh:
f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1 : x² + x - 2

Tentukan sisa!
Difaktokan terlebih dahulu
x² + x - 2 = (x - 1) (x - 2)
                = (x - a) (x + 2)
f(a) = f(1)
f(b) = f(-2)

Subsitusikan
f(a) = a³ - 2a² + 3a - 1
f(1) = (1)³ - 2(1)² + 3(1) - 1
        = 1 - 2 + 3 - 1
        = 1
f(b) = b³ - 2b² + 3b - 1
f(-2)= (-2)³ - 2(-2)² + 3(-2) - 1
        = - 8 - 8 - 6 - 1
        = - 23
f(a) = p(a) + q
f(1) = p(1) + q
       = p + q
1     = p + q
p + q = 1
f(b) = p(b) + q
f(-2) = p(-2) + q
- 23 = -2p + q
-2p + q = -23

Eliminasi
p + q = 1
-2p + q = -23 -
3p = -24
p = -24/3
p = 8

Subsitusikan kembali
p + q = 1
8 + q = 1
q = -7
=> Sisanya adalah px + q, maka sisa pembagiannya adalah px + q = 8x - 7

Teorema Faktor

f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
= s(x)
=0
Contoh:
x³ + 2x² - 5x - 6

Pembuktian menggunakan teorema pembagian dan horner, yang di tanyakan adalah Hp nya yaitu {-3,-1,2}






Nama       : Sri Trisnawati
Panggilan: Nci